関数の内積

関数の「内積」は、
\begin{equation}
\langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b A(x) B(x) \, dx
\end{equation}と定義します。

本稿では、関数の内積とベクトルの内積を比較していきます。
ベクトルの内積 - 数式で独楽する

次元のベクトルを
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_1 \boldsymbol{x}_1 + A_2 \boldsymbol{x}_2 +\cdots + A_n \boldsymbol{x}_n \\
\boldsymbol{B} &=& B_1 \boldsymbol{x}_1 + B_2 \boldsymbol{x}_2 +\cdots + B_n \boldsymbol{x}_n
\end{eqnarray}とします。ここでは次元の単位ベクトルで、互いに直交します。

このとき、ベクトルの内積の定義は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& A_1 B_1 + A_2 B_2 + \cdots + A_n B_n \\
&=& \sum_{i=1}^n A_i B_i \tag{1}
\end{eqnarray}です。*1

一方、関数の積の積分は、
\begin{eqnarray}
\int_a^b A(x) B(x) \, dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n A(x_i) B(x_i) \Delta x \tag{2} \\
\Delta x &=& \frac{b -a}{n}
\end{eqnarray}です。

式(1)において、に対し
\begin{eqnarray}
A_i & \to & A(x_i) \\
B_i & \to & B(x_i)
\end{eqnarray}と対応させ、を乗じてとすると、式(2)となります。

このように、関数の内積は、ベクトルの内積と類似の考え方となっていることが分かります。

*1:ベクトルを列で記述すると \begin{equation} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^t \boldsymbol{B} \end{equation}です。式中の「t」は転置(行と列の入れ替え)を表します。 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する