逆行列の求め方に「掃き出し法」と呼ばれる手法があります。
逆行列 - 数式で独楽する
元の行列$A$に対して
行列
を作り、
以下の基本変形を加えての形になるとき、
行列$B$は$A$の逆行列になります。
- ある行を定数倍する
- 2つの行を交換する
- ある行の定数倍を別の行に加える
なお、$I$は単位行列です。
単位行列 - 数式で独楽する
では、逆行列を具体的に求めてみます。
\begin{equation}
P= \left( \begin{array}{rrr} 1&0&2\\0&2&1\\-1&1&-1 \end{array} \right)
\end{equation}の逆行列を求めます。
まず、行列を作ります。見易くするため、真ん中に縦線を入れています。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right)
\end{equation}
第1行を第3行に加えます。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1
\end{array} \right)
\end{equation}
第2行と第3行を交換します。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right)
\end{equation}
第2行の$-$2倍し、第3行に加えます。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & -2 & 1 & -2
\end{array} \right)
\end{equation}
第3行を$-$1倍します。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 2
\end{array} \right)
\end{equation}
第3行を$-$2倍し、第1行に加えます。
第3行を$-$1倍し、第2行に加えます。
\begin{equation}
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & -3 & 2 & -4 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 2
\end{array} \right)
\end{equation}
よって、逆行列は
\begin{equation}
P^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} -3&2&-4\\-1&1&-1\\2&-1&2 \end{array} \right)
\end{equation}となります。
なお、この手法は、連立方程式
\begin{equation}
a_{ik} b_{kj} = \delta_{ij}
\end{equation}を地道に解いていくのと本質的に同じです。手順が異なるだけです。
アインシュタインの縮約記法とクロネッカーのデルタを用いており、実際は$n^2$本の方程式からなります。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
