3次元のベクトルに対し、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})
\end{equation}を、「ベクトル3重積」といいます。
記号は外積を表します。
次の関係があります。
ベクトル3重積
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) =
\boldsymbol{b} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})
\end{equation}
記号は内積を表します。
ベクトル3重積は、
エディントンのイプシロン
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いると簡潔に表記できます。
を
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\a_3 \end{array} \right) , \quad \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{array} \right), \quad
\boldsymbol{c} = \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right)
\end{equation}とすると、の第
成分は次のようになります。
外積をエディントンのイプシロンを用いて表記していきます。
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\left( \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \right)_i
&=& \epsilon_{ijk} \, a_j \, (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_k \\
&=& \epsilon_{ijk} \, a_j \, \epsilon_{klm} \, b_l \, c_m \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \epsilon_{klm} \, a_j \, b_l \, c_m
\end{eqnarray}となります。
エディントンのイプシロンが2つ重なったので、クロネッカーのデルタで表現できます。
\begin{equation}
\left( \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \right)_i
= (\delta_{il} \, \delta_{jm} - \delta_{im} \, \delta_{jl})\, a_j \, b_l \, c_m
\end{equation}
エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmk} - 数式で独楽する
クロネッカーのデルタ
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
の性質を用いると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\left( \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \right)_i
&=& a_j \, b_i \, c_j - a_j \, b_j \, c_i \\
&=& b_i (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - c_i (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \\
&=& \left \{ \boldsymbol{b} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \right \}_i
\end{eqnarray}
途中、ベクトルの内積に戻しています。
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
よって、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) =
\boldsymbol{b} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})
\end{equation}を得ます。
