逆行列 - 数式で独楽する

正方行列 $A$ の逆行列
\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \left( \begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{array} \right)
\end{equation}
ここで $C_{ij}$ は、行列 $A$ から第 $i$ 行と第=tex: j]列を除いて作った行列の行列式で、「余因子」といいます。
また、逆行列が存在するための条件は、
\begin{equation}
\det A \ne 0
\end{equation}です。

逆行列を求める具体例はこちらをご覧ください。
逆行列の実演その1 - 数式で独楽する
 逆行列の実演その2 - 数式で独楽する

行列式の余因子展開に着目すると、逆行列の成分を理解できます。
行列式 - 数式で独楽する
 行列式の性質余因子展開 - 数式で独楽する

行列式を余因子展開展開していきます。
\begin{eqnarray}
\det A &=& \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=& \sum_{k=1}^n \left[ a_{kj} \left( \sum_{\sigma(j) =k } \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(n)n} /a_{kj} \right) \right] \\
&=& \sum_{k=1}^n a_{kj}C_{kj} \tag{1}
\end{eqnarray}ここで、余因子は
\begin{equation}
C_{kj} = \sum_{\sigma(j) =k } \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(n)n} /a_{kj}
\end{equation}です。

さて、 $i \ne j$ に対し、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n a_{ki}C_{kj}
&=& \sum_{k=1}^n \left[ a_{ki} \left( \sum_{\sigma(j) =k } \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(n)n} /a_{kj} \right) \right] \\
&=& \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)i} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=& \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots \underline{a_{\sigma(i)i}} \cdots \underline{a_{\sigma(j)i}} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=& | \boldsymbol{a}_1 \ \cdots \ \underline{\boldsymbol{a}_i} \ \cdots \ \underline{\boldsymbol{a}_i} \ \cdots \ \boldsymbol{a}_n | \\
&=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}となります。第 $i$ 列と第 $j$ 列が一致する行列式が現れ、その値は0となります。

式(1), (2)をまとめ、クロネッカーのデルタとアインシュタインの縮約記法で表すと、
\begin{equation}
C_{ki} a_{kj} = (\det A) \delta_{ij} \tag{3}
\end{equation}を得ます。
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
 アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する

行列で記述すると、
\begin{equation}
\Bigl( C_{ki} \Bigr)^t \, A = (\det A) I \tag{4}
\end{equation}となります。
ここで $I$ は単位行列です。また余因子で作った行列の転置行列と $A$ の積は、単位行列に行列式の値を乗じたものとなります。

行と列を入れ替えて同様にしていきます。
\begin{eqnarray}
\det A &=& \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{i\sigma(i)} \cdots a_{n\sigma(n)} \\
&=& \sum_{k=1}^n \left[ a_{kj} \left( \sum_{\sigma(i) =k } \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} /a_{ik} \right) \right] \\
&=& \sum_{k=1}^n a_{ik}C_{ik} \tag{5}
\end{eqnarray}ここで、余因子は
\begin{equation}
C_{ik} = \sum_{\sigma(i) =k } \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)} /a_{ik}
\end{equation}です。

また、 $j \ne i$ の場合、行が重複する行列の行列式が現れ、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n a_{ik}C_{jk} = 0 \tag{6}
\end{equation}となります。

式(5)(6)をまとめ、クロネッカーのデルタとアインシュタインの縮約記法で表すと、
\begin{equation}
a_{ik}C_{jk} = (\det A) \delta_{ij} \tag{7}
\end{equation}を得ます。

式(7)を行列で記述すると、
\begin{equation}
A \, \Bigl( C_{ik} \Bigr)^t = (\det A) I \tag{8}
\end{equation}となります。
$A$ と余因子で作った行列の転置行列の積は、単位行列に行列式の値を乗じたものとなります。
単位行列 - 数式で独楽する

式(4), (8)において $\det A \ne 0$ のとき、
\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \left( \begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{1n} & C {2n} & \cdots & C_{nn}
\end{array} \right)
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
A^{-1} A = AA^{-1} = I
\end{equation}となります。
この $A^{-1}$ が「逆行列」です。