固有ベクトルと一次変換

行列$A$で記述される一次変換について、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
\end{equation}となるような定数$\lambda$とベクトルが存在するとき、

• $\lambda$を「固有値」
• を「固有ベクトル」

といいます。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する

本稿では、一次独立な固有ベクトルを持つ一次変換の特徴をみていきます。

一次変換を記述する行列とその固有値、固有ベクトルを、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v}_i = \lambda_i \boldsymbol{v}_i \quad (i = 1, \cdots , n)
\end{equation}とします。なお、です。

異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立なので、任意のベクトルは、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^n k_i \boldsymbol{v}_i
\end{equation}と表すことができます。

このとき、任意のベクトルの一次変換は
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{x} &=& A \left( \sum_{i=1}^n k_i \boldsymbol{v}_i \right) \\
&=& \sum_{i=1}^n k_i A \boldsymbol{v}_i \\
&=& \sum_{i=1}^n k_i \lambda_i \boldsymbol{v}_i
\end{eqnarray}となります。

つまり、一次変換とは、

• 各方向に倍に引き延ばす(縮める)

変換であると言うことができます。