一次変換の線型性

一次変換$f$には、線型性があります。つまり、ベクトルおよび定数に対し、
\begin{equation}
f( p\boldsymbol{u} + q\boldsymbol{v}) = p \, f( \boldsymbol{u}) + q \, f(\boldsymbol{v})
\end{equation}が成り立ちます。
線型というのは - 数式で独楽する

一次変換$f$を記述する行列およびベクトルを
\begin{equation}
A= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right), \
\boldsymbol{u} = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{array} \right), \
\boldsymbol{v} = \left( \begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right)
\end{equation}とします。

では、
\begin{equation}
f( p\boldsymbol{u} + q\boldsymbol{v}) = A( p\boldsymbol{u} + q\boldsymbol{v})
\end{equation}がどのようになるのかを見ていきます。

ここで、アインシュタインの縮約記法を用います。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
\begin{equation}
a_{ij} (pu_j + qv_j) = p (a_{ij} u_j) +q(a_{ij} v_j)
\end{equation}

あらためて行列、ベクトルで記述すると、
\begin{equation}
A( p\boldsymbol{u} + q\boldsymbol{v}) = p (A \boldsymbol{u}) + q (A\boldsymbol{v})
\end{equation}となります。

よって、
\begin{equation}
f( p\boldsymbol{u} + q\boldsymbol{v}) = p \, f( \boldsymbol{u}) + q \, f(\boldsymbol{v})
\end{equation}が成り立ちます。