以下の問いに答えよ。
(1) $n$を1以上の整数とする。$x$についての方程式
\begin{equation}
x^{2n -1} = \cos x
\end{equation}はただ1つの実数解をもつことを示せ。
(2) (1)で定まる
を示せ
(3) (1)で定まる数列
に対し、
\begin{equation}
a= \lim_{n \to \infty} a_n, \quad b = \lim_{n \to \infty} {a_n}^n, \quad c = \lim_{n \to \infty} \frac{{a_n}^n -b}{a_n -a}
\end{equation}を求めよ。
小問(1)の解答例
の場合
は単調増加
は
で単調減少
です。
\begin{eqnarray}
0^{2n -1} = 0 & < & \cos 0 =1 \\
1^{2n -1} = 1 & > & \cos 1
\end{eqnarray}なので、方程式はでただ1つの実数解を持ちます。
の場合
\begin{equation}
x^{2n -1} > 1 \geqq \cos x
\end{equation}なので、方程式は解を持ちません。
の場合
は単調増加です。
\begin{eqnarray}
0^{2n -1} = 0 & < & \cos 0 = 1 \\
\left( -\frac{\pi}{2} \right)^{2n -1} = -\left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n -1} &<& \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0 \\
(-\pi)^{2n -1} = -\pi^{2n -1} &<& \cos (-\pi) = -1
\end{eqnarray}なので、方程式は解を持ちません。
の場合
\begin{equation}
x \leqq - \pi^{2n -1} < -1 \leqq \cos x
\end{equation}なので、方程式は解を持ちません。
以上より、方程式はただ1つの実数解を持ちます。
小問(2)の解答例
小問(1)の結果より、
\begin{equation}
0 < a_n < 1
\end{equation}です。
また、は
で単調減少なので、
\begin{equation}
\cos a_n > \cos 1
\end{equation}
小問(1), (2)の解説
関数の増減を評価する方法がありますが、導関数が0
\begin{equation}
(2n -1)x^{2n -2} + \sin x =0
\end{equation}を解くのが面倒です。
範囲を分割して、関数が単調増加/単調減少であることを利用して値を比較するのが分かり易いです。
グラフを描けば一目瞭然ですが、そのことの説明は必要でしょう。
