ベクトルに対し、
\begin{eqnarray}
\mathrm{rot} \, (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{A}) &=& \mathrm{grad} \, (\mathrm{div}) \, \boldsymbol{A} - \triangle \boldsymbol{A} \\
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) &=& \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - \nabla^2 \boldsymbol{A}
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ・チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
内線と外積の表記
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
を用い、$i$成分を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\Bigl( \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \Bigr)_i
&=& \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, (\nabla \times \boldsymbol{A})_k \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, \epsilon_{klm} \, \frac{\partial}{\partial x_l} \, A_m
\end{eqnarray}となります。
ここで、
\begin{equation}
\epsilon_{ijk} \, \epsilon_{klm} = \delta_{il} \, \delta_{jm} - \delta_{im} \, \delta_{jl}
\end{equation}を用います。
エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmk} - 数式で独楽する
式中のデルタは、クロネッカーのデルタです。
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
すると、
\begin{eqnarray}
\Bigl( \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \Bigr)_i
&=& (\delta_{il} \, \delta_{jm} - \delta_{im} \, \delta_{jl}) \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, \frac{\partial}{\partial x_l} \,A_m \\
&=& \frac{\partial}{\partial x_j} \, \frac{\partial}{\partial x_i} \,A_j - \frac{\partial}{\partial x_j} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \,A_i
\end{eqnarray}となります。
さて、実用上、多くの場合で偏微分は交換可能であるため、
\begin{eqnarray}
\Bigl( \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \Bigr)_i
&=& \frac{\partial}{\partial x_i} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \,A_j - \frac{\partial}{\partial x_j} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \,A_i \\
&=& \Bigl( \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) \Bigr)_i - \nabla^2 A_i
\end{eqnarray}となります。
したがって、
\begin{equation}
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - \nabla^2 \boldsymbol{A}
\end{equation}が成り立ちます。
