行列のべき乗を求める - 数式で独楽する

$n \times n$ 行列 $A$ が $n$ 組の固有値と固有ベクトルを持つと仮定します。すなわち、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v}_i = \lambda_i \boldsymbol{v}_i \quad (i=1,2, \cdots , n) \tag{1}
\end{equation}とします。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
各 $\boldsymbol{v}_i \ (i=1,2, \cdots , n)$ は一次独立であるとき、
\begin{equation}
P = ( \boldsymbol{v}_1 \ \boldsymbol{v}_2 \ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)
\end{equation}を用いて
\begin{equation}
P^{-1}AP = \left( \begin{array}{cccc}
\lambda_1 &&& \Large{0} \\
& \lambda_2 && \\
&& \ddots & \\
\Large{0} &&& \lambda_n
\end{array} \right) \tag{1}
\end{equation}とすることができます。これを「対角化」といいます。
行列の対角化 - 数式で独楽する

行列を対角化できると、行列のべき乗を容易に求めることができます。
まず、式(1)より、
\begin{equation}
\left( P^{-1}AP \right)^m = \left( \begin{array}{cccc}
{\lambda_1}^m &&& \Large{0} \\
& {\lambda_2}^m && \\
&& \ddots & \\
\Large{0} &&& {\lambda_n}^m
\end{array} \right) \tag{2}
\end{equation}を得ます。
対角行列のべき乗 - 数式で独楽する

一方、
\begin{eqnarray}
\left( P^{-1}AP \right)^m &=& \underbrace{\left( P^{-1}AP \right) \left( P^{-1}AP \right) \cdots \left( P^{-1}AP \right)}_{m \ \mbox{times}} \\
&=& P^{-1} A^m P \tag{3}
\end{eqnarray}です。途中は $PP^{-1}=I$ で相殺され、両端の $P^{-1}, P$ が残ります。

したがって、式(2), (3)より
\begin{equation}
P^{-1} A^m P = \left( \begin{array}{cccc}
{\lambda_1}^m &&& \Large{0} \\
& {\lambda_2}^m && \\
&& \ddots & \\
\Large{0} &&& {\lambda_n}^m
\end{array} \right) \tag{4}
\end{equation}を得ます。

式(4)の両辺に左から $P$ 、右から $P^{-1}$ を掛けると、行列のべき乗は
\begin{equation}
A^m = P \left( \begin{array}{cccc}
{\lambda_1}^m &&& \Large{0} \\
& {\lambda_2}^m && \\
&& \ddots & \\
\Large{0} &&& {\lambda_n}^m
\end{array} \right) P^{-1}
\end{equation}と求めることができます。