行列のトレース

正方行列の対角成分の和を「トレース(trace、跡(せき))」といいます。
正方行列をとすると、トレースは
\begin{equation}
\mathrm{tr} A = \sum_{i=1}^n a_{ii}
\end{equation}で定義されます。

定数倍

行列を定数倍すると、トレースも定数倍になります。
\begin{equation}
\mathrm{tr} (rA) = \sum_{i=1}^n r \, a_{ii} = r \, \mathrm{tr} A
\end{equation}

和

行列の和のトレースは、それぞれのトレースの和となります。
\begin{equation}
\mathrm{tr} (A+B) = \sum_{i=1}^n (a_{ii} + b_{ii}) = \mathrm{tr} A + \mathrm{tr} B
\end{equation}
なお、としています。

転置

転置行列のトレースは、元の行列のトレースと等しいです。
行と列を入れ替えても対角成分は変わらないからです。
\begin{equation}
\mathrm{tr} A^t = \mathrm{tr} A
\end{equation}

積の入れ替え

2行列の積のトレースは、積の順序を入れ替えても等しくなります。
\begin{equation}
\mathrm{tr} (AB) = \sum_{i,j} a_{ij} b_{ji} = \sum_{i,j} b_{ji} a_{ij} = \mathrm{tr} (BA)
\end{equation}