複素数 - 数式で独楽する

実数 $x,y$ に対し、
\begin{equation}
z = x + y \, i
\end{equation}で表される数 $z$ を「複素数」といいます。実数ではないという意味で「虚数」ともいいます。

$i = \sqrt{-1}$ : 虚数単位
$x$ : 実部。 $\mathrm{Re} \, z, \Re \, z$ などと表します。
$y$ : 虚部。 $\mathrm{Im} \, z, \Im \, z$ などと表します。

です。

2つの複素数
\begin{eqnarray}
z_1 &=& x_1 + y_1 \, i \\
z_2 &=& x_2 + y_2 \, i
\end{eqnarray}に対して、和、差、積、商は次のようになります。

和および差

実部および虚部で、それぞれ和および差をとります。
\begin{eqnarray}
z_1 \pm z_2 &=& (x_1 + y_1 \, i) \pm (x_2 + y_1 \, i) \\
&=& (x_1 \pm x_2) + (y_1 \pm y_2)
\end{eqnarray}なお、複号は同順です。

積

虚数単位は $i^2 = -1$ となることを踏まえ、素直に掛け算します。
\begin{eqnarray}
z_1 z_2 &=& (x_1 + y_1 \, i)(x_2 + y_2 \, i) \\
&=& (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1)\, i
\end{eqnarray}

商

虚数単位は $i^2 = -1$ となることを踏まえ、素直に割り算します。ここでは分母は実数にしておきます。
\begin{eqnarray}
\frac{z_1}{z_2} &=& \frac{x_1 + y_1 \, i}{x_2 + y_2 \, i} \\
&=& \frac{(x_1 + y_1 \, i)(x_2 - y_2 \, i)}{(x_2 + y_2 \, i)(x_2 - y_2 \, i)} \\
&=& \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + (-x_1 y_2 + x_2 y_1) \, i}{{x_2}^2 + {y_2}^2}
\end{eqnarray}
共軛複素数と絶対値を用いると、
\begin{equation}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2}
\end{equation}です。