複素数の極形式 - 数式で独楽する

実数 $x,y$ に対し、
\begin{equation}
z = x + y \, i
\end{equation}で表される数 $z$ を「複素数」といいます。実数ではないという意味で「虚数」ともいいます。

$i = \sqrt{-1}$ : 虚数単位
$x$ : 実部。 $\mathrm{Re} \, z, \Re \, z$ などと表します。
$y$ : 虚部。 $\mathrm{Im} \, z, \Im \, z$ などと表します。

f:id:toy1972:20190709185644g:plain:w300

ここで
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}とすると、
極座標 - 数式で独楽する
\begin{equation}
z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \tag{1}
\end{equation}となります。

さらにオイラーの公式を用いると、
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
\begin{equation}
z = r \, e^{i \theta} \tag{2}
\end{equation}となります。
この式(1), (2)の形を「極形式」といいます。

$r$ : 絶対値。 $|z| = r = \sqrt{x^2+y^2}$ です。共軛複素数を用いると $|z|^2 = z \bar{z}$ と書けます。
$\theta$ : 偏角。 $\arg z$ と表記します。2数0, 1のなす半直線と、2数0, $z$ のなす半直線がなす角の大きさです。2数0, 1のなす半直線上を偏角0とし、反時計回りの方向が正の向きです。なお、 $z=0$ では定義できません。

偏角を実部と虚部で表すと、
\begin{equation}
\arg z = \tan^{-1} \frac{y}{x} = \tan^{-1} \frac{\mathrm{Im} \, z}{\mathrm{Re} \, z}
\end{equation}となります。
共軛複素数 - 数式で独楽する
 共軛複素数その2 - 数式で独楽する

2つの複素数
\begin{eqnarray}
z_1 &=& r_1 e^{i \theta_1} \\
z_2 &=& r_2 e^{i \theta_2}
\end{eqnarray}に対して、積、商は次のようになります。

積

\begin{equation}
z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}
\end{equation}
複素数の掛け算は、

全体を絶対値倍とする。
偏角だけ回転させる。
- 正なら反時計回り
- 負なら時計回り

となります。

商

\begin{equation}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \, e^{i(\theta_1 - \theta_2)}
\end{equation}
複素数の割り算は、

全体を絶対値分の1とする。
偏角だけ回転させる。
- 正なら時計回り
- 負なら反時計回り

となります。