複素数の一致 - 数式で独楽する

実数 $x,y$ に対し、
\begin{equation}
z = x + y \, i
\end{equation}で表される数 $z$ を「複素数」といいます。実数ではないという意味で「虚数」ともいいます。

$i = \sqrt{-1}$ : 虚数単位
$x$ : 実部。 $\mathrm{Re} \, z, \Re \, z$ などと表します。
$y$ : 虚部。 $\mathrm{Im} \, z, \Im \, z$ などと表します。

ここで、
\begin{equation}
z = 0 \ \Longleftrightarrow \ x=y=0
\end{equation}なので、複素数の実部と虚部は一次独立であることが分かります。
一次独立と一次従属 - 数式で独楽する

2つの複素数
\begin{eqnarray}
z_1 &=& x_1 + y_1 \, i \\
z_2 &=& x_2 + y_2 \, i
\end{eqnarray}に対して、

\begin{equation}
z_1 = z_2 \ \Longleftrightarrow \ x1 = x_2 \ \mbox{かつ}\ y_1 = y_2
\end{equation}

であることが分かります。複素数が等しいとは、実部と虚部がそれぞれ等しいということです。

\begin{eqnarray}
&& z_1 = z_2 \\
& \Leftrightarrow & z_1 - z_2 = 0 \\
& \Leftrightarrow & x_1 - x_2 = 0 \ \mbox{かつ} \ y_1 - y_2 = 0 \\
& \Leftrightarrow & x_1 = x_2 \ \mbox{かつ} \ y_1 = y_2
\end{eqnarray}