複素数値関数の正規化または規格化

複素数値関数 $A(x)$ の「正規化」または「規格化」とは、
\begin{equation}
\langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b ||A(x)||^2 \, dx = \int_a^b \overline{f(x)} f(x) \, dx = 1
\end{equation}とすることをいいます。
つまり、自身との内積、ノルムが1となることをいいます。
複素数値関数の内積 - 数式で独楽する
 複素数値関数のノルム - 数式で独楽する

ベクトルの規格化との比較を見ていきます。
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
 関数の正規化または規格化 - 数式で独楽する

$n$ 次元のベクトル $\boldsymbol{A}$ を
\begin{equation}
\boldsymbol{A} = A_1 \boldsymbol{x}_1 + A_2 \boldsymbol{x}_2 +\cdots + A_n \boldsymbol{x}_n
\end{equation}とします。ここで $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots , \boldsymbol{x}_n$ は $n$ 次元の単位ベクトルで、互いに直交します。

このとき、ベクトルの正規化とは、自身との内積 $\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A}$ は
\begin{equation}
\overline{\boldsymbol{A}} \cdot \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}= \overline{A_1}{A_1} + \overline{A_2}{A_2} + \cdots + \overline{A_n}{A_n} = \sum_{i=1}^n {A_i}^2 =1
\end{equation}とすることをいいます。つまり、ノルムを1とするということです。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する
 共軛複素数 - 数式で独楽する

このように、関数の正規化は、ベクトルの正規化と類似の考え方となっていることが分かります。