転置行列
行列
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right)
\end{equation}に対し、行と列を入れ替えて作った行列
\begin{equation}
A^t = \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{m1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & \cdots & a_{nm}
\end{array} \right)
\end{equation}を「転置行列」といいます。
簡略化した表記では、
\begin{equation}
A = (a_{ij}) \ \Rightarrow \ A^t = (a_{ji})
\end{equation}です。
転置行列の表記としては、他になどがあります。
なお、転置の転置は元の行列です。
\begin{equation}
(A^t)^t = A
\end{equation}
行と列を入れ替える操作を2回行うので、元の行列に戻ります。
随伴行列
行列の成分が複素数の場合、成分を共軛複素数(共役複素数)とし、さらに行と列を入れ替えて作った行列
\begin{equation}
A^* = \left( \begin{array}{ccc}
\overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{nm}}
\end{array} \right)
\end{equation}を「随伴行列」といいます。
共軛複素数 - 数式で独楽する
簡略化した表記では、
\begin{equation}
A = (a_{ij}) \ \Rightarrow \ A^* = ( \overline{a_{ji}})
\end{equation}です。
随伴行列は、と表記することがあります。右肩の記号はダガー、短剣です。
- 転置をとってから複素共軛をとる「転置共軛」
- 複素共軛をとってから転置をとる「共軛転置」
どちらが先でも結果は同じなので、特段の混乱はありません。
なお、随伴の随伴も、元の行列です。
\begin{equation}
(A^*)^* = A
\end{equation}
- 転置の転置は元の配置
- 共軛の共軛は元の複素数
なので、随伴の随伴、すなわち転置共軛の転置共軛は、元の行列に戻ります。
共軛複素数 その2 - 数式で独楽する
