歪エルミート行列

随伴行列が元の行列の$-$1倍となる行列を、「歪エルミート行列」といいます。「反エルミート行列」ともいいます。
共軛複素数 - 数式で独楽する
 転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する
交代行列の複素数版です。
交代行列 - 数式で独楽する

行列 $A=(a_{ij})$ が歪エルミート行列の場合、
\begin{equation}
A^* = -A
\end{equation}を満たします。
共軛転置に対して反対称性を持っています。
行列の成分は、
\begin{equation}
\overline{a_{ji}} = -a_{ij}
\end{equation}を満たします。

歪エルミート行列の対角成分

歪エルミート行列の対角成分は純虚数です。
対角成分についても
\begin{equation}
\overline{a_{ii}} = -a_{ii}
\end{equation}なので、純虚数となります。
共軛複素数その2 - 数式で独楽する

正方行列の分解

任意の正方行列$A$は、エルミート行列$S$と歪エルミート行列$T$の和で表すことができます。
\begin{equation}
A = S + T \tag{1}
\end{equation}の共軛転置をとると
\begin{equation}
A^* = S - T \tag{2}
\end{equation}となります。

式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2}(A + A^*) \tag{3} \\
T &=& \frac{1}{2}(A - A^*) \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。

逆に、式(3), (4)でエルミート行列$S$と歪エルミート行列$T$を定めると、
\begin{equation}
A = S + T \tag{1}
\end{equation}とすることができます。

なお、式(3), (4)で定めた行列$S, T$は、
\begin{eqnarray}
S^* &=& \frac{1}{2} \left( A^* + (A^*)^* \right) &=& \frac{1}{2}(A^* + A) &=& S \\
T^* &=& \frac{1}{2} \left( A^* - (A^*)^* \right) &=& \frac{1}{2}(A^* - A) &=& -T
\end{eqnarray}を満たしており、それぞれエルミート行列、歪エルミート行列となっています。