京大 2017年理系第6問別解 - 数式で独楽する

$n$を自然数とする。$n$個の箱すべてに $\fbox{1}, \fbox{2}, \fbox{3}, \fbox{4}, \fbox{5}$ の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている。各々の箱から1枚ずつ取り出し、取り出した順に左から並べて$n$桁の数を$X$を作る。このとき、$X$が3で割り切れる確率を求めよ。

途中から別解

京大 2017年理系第6問 - 数式で独楽する

$n$桁の数$X$を$X_n$とします。
$X_n$を3で割った余りが0(割り切れる), 1, 2となる確率をそれぞれ $p_n, q_n, r_n$ とします。
このとき、
\begin{eqnarray}
&& p_n + q_n + r_n = 1 \tag{1} \\
&& p_1 = \frac{1}{5} , \quad q_1=r_1=\frac{2}{5} \tag{2}
\end{eqnarray}です。

$X_n$を3で割った余りと$n+1$枚目に引くカード別に、$X_{n+1}$を3で割った余りを纏めると、
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
X_n & \fbox{1} & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{5} \\ \hline
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}となります。

これより、
\begin{eqnarray}
p_{n+1} &=& \frac{1}{5} p_n + \frac{2}{5} q_n + \frac{2}{5} r_n \tag{3} \\
q_{n+1} &=& \frac{2}{5} p_n + \frac{1}{5} q_n + \frac{2}{5} r_n \tag{4} \\
r_{n+1} &=& \frac{2}{5} p_n + \frac{2}{5} q_n + \frac{1}{5} r_n \tag{5}
\end{eqnarray}を得ます。
また、式(4), (5)より $q_n=r_n$ なので、
\begin{eqnarray}
p_{n+1} &=& \frac{1}{5} p_n + \frac{4}{5} q_n \\
q_{n+1} &=& \frac{2}{3} p_n + \frac{3}{5} q_n
\end{eqnarray}となります。
行列で記述すると、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \right) =
\frac{1}{5} \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \right)
\end{equation}です。

行列 $A= \displaystyle \frac{1}{5} \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} \right)$ の固有値$\lambda$を求めます。
\begin{equation}
(A - \lambda I) \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}
\end{equation}が $\boldsymbol{v} \ne \boldsymbol{0}$ なる解をもつ条件より、
\begin{eqnarray}
|A - \lambda I| &=& 0 \\
\Rightarrow \quad (1 -5\lambda)(3 -5\lambda) +8 &=& 0 \\
\Rightarrow \quad (5\lambda)^2 -4(5\lambda) -5 &=& 0 \\
\Rightarrow \quad (\lambda -1)(5\lambda +1) &=& 0 \\
\Rightarrow \quad \lambda &=& 1, \ -\frac{1}{5}
\end{eqnarray}を得ます。

固有ベクトル $\boldsymbol{v} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ は次のようになります。

$\lambda=1$	$\left( \begin{array}{cc} -4&4\\2&-2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)$	$x -y=0$	$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1\\1 \end{array} \right)$
$\lambda=-\frac{1}{5}$	$\left( \begin{array}{cc} 2&4\\2&4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)$	$x +2y=0$	$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2\\-1 \end{array} \right)$

固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する

固有ベクトルを並べて行列$P$を作ると、
\begin{eqnarray}
P &=& \left( \begin{array}{cc} 1&2\\1&-1 \end{array} \right) \\
P^{-1} &=& \frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 1&2\\1&-1 \end{array} \right) \\
P^{-1} AP &=& \left( \begin{array}{cc} 1&0\\0&-\frac{1}{5} \end{array} \right) \\
P^{-1} A^n P &=& \left( \begin{array}{cc} 1&0\\0&\left( -\frac{1}{5}\right)^n \end{array} \right) \\
A^n P &=& \left( \begin{array}{cc} 1 & 2\left( -\frac{1}{5}\right)^n \\ 1 & -\left( -\frac{1}{5}\right)^n \end{array} \right) \\
A^n &=& \frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 1+2\left( -\frac{1}{5}\right)^n & 2-2\left( -\frac{1}{5}\right)^n \\ 1-\left( -\frac{1}{5}\right)^n & 2+\left( -\frac{1}{5}\right)^n \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \right) &=& A^{n -1} \left( \begin{array}{c} p_1 \\ q_1 \end{array}\right) \\
&=& \frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 1-\frac{2}{5}\left( -\frac{1}{5}\right)^{n -1} \\ 1+\frac{1}{5}\left( -\frac{1}{5}\right)^{n -1} \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 1+2\left( -\frac{1}{5}\right)^n \\ 1-\left(-\frac{1}{5}\right)^n \end{array} \right) \\
p_n &=& \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{5} \right)^n \\
q_n = r_n &=& \frac{1}{3} -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{5} \right)^n
\end{eqnarray}を得ます。
行列の対角化 - 数式で独楽する
 行列のべき乗を求める - 数式で独楽する