直線上を円が転がるとき、円上の点が描く軌跡を「サイクロイド」といいます。
半径の円
が
軸上を右へ転がるとき、原点にあった点Pの軌跡は、
\begin{eqnarray}
x &=& a(\theta - \sin \theta) \\
y &=& a(1- \cos \theta)
\end{eqnarray}と書くことができます。
図において、円を転がして中心がOからO'に移動したとき、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{QO'P'} &=& \theta \\
\mathrm{OO'} &=& \mathrm{PQ} = \stackrel{\large{\frown}}{\mathrm{P'Q}} = a \theta
\end{eqnarray}です。
図の赤い線の長さは等しくなることに着目します。
したがって、P'すなわちPの軌跡の座標は、
\begin{eqnarray}
x &=& a \theta - a \sin \theta \\
y &=& a - a \cos \theta
\end{eqnarray}で記述されることが分かります。
