$xvz$空間の3点A(1, 0, 0), B(0, -1, 0), C(0, 0, 2)を通る平面αに関して点P(1, 1, 1)と対称な点Qの座標を求めよ。ただし、点Qが平面αに関して点Pと対称であるとは、線分PQの中点Mが平面α上にあり、直線PMがPから平面αに下ろした垂線となることである。
解答例
平面αを表す式を
\begin{equation}
ax +by +cz =1 \tag{1}
\end{equation}とします。
平面αが3点A, B, Cを通るので式(1)に
\begin{equation}
(x,y,z) = (1,0,0), \ (0,-1,0), \ (0,0,2)
\end{equation}をそれぞれ代入し、
\begin{eqnarray}
a &=& 1 \\
b &=& -1 \\
c &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}を得ます。
これらを式(1)に返し、平面αの方程式
\begin{equation}
2x -2y +z =2 \tag{2}
\end{equation}を得ます。
したがって、平面αの法線ベクトルは、
\begin{equation}
\vec{n} = (2,-2,1)
\end{equation}となります。
これより、点Pを通る法線つまり垂線$l$は、
\begin{eqnarray}
(x,y,z) &=& (1,1,1) + t(2,-2,1) \\
&=& (1 +2t, \, 1 -2t, \, 1 +t)
\end{eqnarray}と表すことができます。
垂線の足Mは平面α上にあるので、式(2)を満たします。つまり
\begin{equation}
2(1 +2t) -2(1 -2t) +(1 +t) =2
\end{equation}が成り立ちます。
これより、
\begin{eqnarray}
9t &=& 1 \\
t &=& \frac{1}{9}
\end{eqnarray}を得ます。
PQ=2PMなのでQの座標は
\begin{eqnarray}
(x,y,z) &=& (1,1,1) +2t(2,-2,1) \\
&=& \left( \frac{13}{9}, \, \frac{5}{9}, \, \frac{11}{9} \right)
\end{eqnarray}となります。
解説
座標空間内の
- 平面の式と法線ベクトルの関係
- 直線の表現
を押さえておく問題です。
平面
\begin{equation}
ax +by +cz =1
\end{equation}の法線ベクトルは
\begin{equation}
\vec{n} =(a,b,c)
\end{equation}です。
点を通り、
に平行な*1直線は、
\begin{equation}
\vec{x} = \vec{a} +t \vec{v}
\end{equation}と表すことができます。
*1:このを「方向ベクトル」といいます。
