中心力とは、物体にかかる力が定点との距離のみで表され、その方向は定点またはその逆を向いている力をいいます。
中心力の場においては、角運動量が保存されます。
- 距離に比例するばねの力
- 距離の2乗に反比例する万有引力、電磁力
に代表されますが、これらに限らないということです。
物体にかかる中心力を、定点に対する位置
(距離
)で表すと、
\begin{equation}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = f(r) \, \frac{\boldsymbol{r}}{r}
\end{equation}となります。
運動方程式は、
\begin{equation}
m \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}
\end{equation}です。は物体の質量です。
物体は
- 物体の位置
- 定点
- 運動の速度
で定まる平面を動きます。
なので定点を中心とする2次元の極座標系を考えることができます。
運動方程式を動径成分と偏角
成分に分けます。
物体にかかる力を成分に分けて
\begin{equation}
\boldsymbol{F} = F_r \, \boldsymbol{e}_r +F_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
F_r &=& f(r) \\
F_\theta &=& 0
\end{eqnarray}です。ここでは、それぞれ動径方向および偏角方向の単位ベクトルです。
運動方程式を成分に分けると、
\begin{eqnarray}
m \left( \ddot{r} -r\dot{\theta}^2 \right) &=& f(r) \tag{1} \\
m \left( r \ddot{\theta} +2\dot{r} \dot{\theta} \right) &=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}となります。
2次元極座標系の速度と加速度 - 数式で独楽する
万有引力とケプラーの第2法則 - 数式で独楽する
式(2)の両辺にをかけて
\begin{equation}
m \left( r^2 \ddot{\theta} +2r \dot{r} \dot{\theta} \right) = 0
\end{equation}とし、さらに変形すると、
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \, \left( mr^2 \dot{\theta} \right) = 0
\end{equation}となります。
これは、角運動量
\begin{equation}
L = mr^2 \dot{\theta}
\end{equation}が保存されることを示しています。
ベクトルで記述するとこうなります。
中心力と角運動量の保存 その2 - 数式で独楽する
