京大2021年理系第1問の問2 - 数式で独楽する

赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、$n$回目の試行で初めて赤玉を取り出して4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただし、$n$は4以上の整数とする。

解答例
解説

解答例

それぞれの試行について、確率を整理すると表-1のようになります。

【表-1】

1	1回目で赤以外の3色のいずれかを取り出す確率	$\frac{3}{4}$
2	1色を記録した後、同じ色を取り出す確率	$\frac{1}{4}$
3	1色を記録した後、赤以外の2色のいずれかを取り出す確率	$\frac{1}{2}$
4	2色を記録した後、同じ2色を取り出す確率	$\frac{1}{2}$
5	2色を記録した後、赤でない1色を取り出す確率	$\frac{1}{4}$
6	3色を記録した後、同じ3色を取り出す確率	$\frac{3}{4}$
7	3色を記録した後、赤を取り出す確率	$\frac{1}{4}$

まず、$l$回目( $l \geqq 2$ )の試行で初めて2色になる確率 $r_l$ を求めます。

1回目に赤以外の3色のいずれかを取り出す
$2, 3, \cdots, l -1$ 回目は同じ色を取り出す
$l$回目で赤以外の2色のいずれかを取り出す

の全てを行っています。確率は、
\begin{equation}
r_l = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4} \right)^{l -2} \frac{1}{2}
= \frac{3}{8} \left( \frac{1}{4} \right)^{l -2}
\end{equation}です。

次に、$m $回目( $m \geqq 3$ )の試行で初めて3色になる確率 $q_m$ を求めます。

$l$回目で初めて2色になる
$l +1, l +2, \cdots, m -1$ 回目は同じ2色を取り出す
$m $回目に赤でない3色目を取り出す

の全てを行っています。また、$l$については $l=2,3, \cdots, m -1$ を全て考慮する必要があります。
確率は、
\begin{eqnarray}
q_m &=& \sum_{l=2}^{m -1} r_l \left( \frac{1}{2} \right)^{m -l -1} \frac{1}{4} \\
&=& \sum_{l=2}^{m -1} \frac{3}{8} \left( \frac{1}{4} \right)^{l -2} \left( \frac{1}{2} \right)^{m -l -1} \frac{1}{4} \\
&=& \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{m -1} \sum_{l=2}^{m -1} \left( \frac{1}{2} \right)^l \\
&=& \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{m -1} \frac{1}{2} \left \{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{m -2} \right \} \\
&=& \frac{3}{2} \left \{ \left( \frac{1}{2} \right)^m - \left( \frac{1}{2} \right)^{2m -2} \right \}
\end{eqnarray}です。

そして、$n$回目( $n \geqq 4$ )の試行で初めて赤玉を取り出す確率 $p_n$ を求めます。

$m$回目で初めて3色になる
$m+1, m+2, \cdots, n -1$ 回目は同じ3色を取り出す
$n$回目に赤を取り出す

の全てを行っています。また、$m $については $m=3,4,\cdots, n -1$ を全て考慮する必要があります。
よって求める確率は、
\begin{eqnarray}
p_n &=& \sum_{m=3}^{n -1} q_m \left( \frac{3}{4} \right)^{m -l -1} \frac{1}{4} \\
&=& \sum_{m=3}^{n -1} \frac{3}{2} \left \{ \left( \frac{1}{2} \right)^m - \left( \frac{1}{2} \right)^{2m -2} \right \} \left( \frac{3}{4} \right)^{m -l -1} \frac{1}{4} \\
&=& \frac{3}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^{n -1} \sum_{m=3}^{n -1} \left \{ \left( \frac{2}{3} \right)^m - 4\left( \frac{1}{3} \right)^m \right \} \\
&=& \frac{3}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^{n -1} \left[ \cfrac{\left( \cfrac{2}{3} \right)^3 \left \{ 1 -\left( \cfrac{2}{3} \right)^{n -3} \right \} }{1 -\cfrac{2}{3}} -\cfrac{4\left( \cfrac{1}{3} \right)^3 \left \{ 1 -\left( \cfrac{1}{3} \right)^{n -3} \right \} }{1 -\cfrac{1}{3}} \right] \\
&=& \frac{3}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^{n -1} \left[ 3\left( \frac{2}{3} \right)^3 \left \{ 1 -\left( \frac{2}{3} \right)^{n -3} \right \} -6\left( \frac{1}{3} \right)^3 \left \{ 1 -\left( \frac{1}{3} \right)^{n -3} \right \} \right] \\
&=& \frac{3}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^{n -1} \left \{ \frac{2}{3} +\frac{2}{9} \left( \frac{1}{3} \right)^{n -3} -\frac{8}{9} \left( \frac{2}{3} \right)^{n -3} \right \} \\
&=& \frac{4}{3} \frac{3}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^n \left \{ \frac{2}{3} +\frac{27 \cdot 2}{9} \left( \frac{1}{3} \right)^n -\frac{27}{8} \frac{8}{9} \left( \frac{2}{3} \right)^n \right \} \\
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4} \right)^n \left \{ \frac{2}{3} +6\left( \frac{1}{3} \right)^n -3\left( \frac{2}{3} \right)^n \right \} \\
&=& \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} \right)^n +3\left( \frac{1}{4} \right)^n -\frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^n
\end{eqnarray}となります。

解説

確率と数列を組み合わせた問題です。
「$n$回目で初めて赤玉を取り出す」とはどういうことかを読み解く必要があります。
3色揃ったのがいつかを問わず、その後何回か既出の3色を取り出してから赤玉を取り出す状況を考えることになります。
その流れで、初めて3色や2色揃う状況も4色の場合と同様に考えることになります。

初めて2色目が出る確率は、本文の記述の通り求めることができます。
あとはこの流れを逆に辿って、求める確率を順次導くことになります。
その過程で等比数列の和が登場します。
等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する
落ち着いて計算できる形を作ることで求める確率を導くことができます。