無限級数
の和を求めよ。
解答例
\begin{equation}
a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n \cos \frac{n \pi}{6}
\end{equation}とすると、
\begin{array}{llll}
a_{12k} & = \left( \frac{1}{2} \right)^{12k}, \\
a_{12k+1} & = \left( \frac{1}{2} \right)^{12k+1} \frac{\sqrt{3}}{2}, &
a_{12k+11} & = \left( \frac{1}{2} \right)^{12k+11} \frac{\sqrt{3}}{2}, \\
a_{12k+2} & = \left( \frac{1}{2} \right)^{12k+2} \frac{1}{2}, &
a_{12k+10} & = \left( \frac{1}{2} \right)^{12k+10} \frac{1}{2}, \\
a_{12k+3} & = 0, &
a_{12k+9} & = 0, \\
a_{12k+4} & = -\left( \frac{1}{2} \right)^{12k+4} \frac{1}{2}, &
a_{12k+8} & = -\left( \frac{1}{2} \right)^{12k+8} \frac{1}{2}, \\
a_{12k+5} & = -\left( \frac{1}{2} \right)^{12k+5} \frac{\sqrt{3}}{2}, &
a_{12k+7} & = -\left( \frac{1}{2} \right)^{12k+7} \frac{\sqrt{3}}{2}, \\
&& a_{12k+6} & = -\left( \frac{1}{2} \right)^{12k+6}
\end{array}です。
三角関数の1周期分をまとめると、有理数の部分は
\begin{equation}
\left( \frac{1}{2} \right)^{12k} \left( 1 +\frac{1}{8} -\frac{1}{32} -\frac{1}{64} -\frac{1}{512} +\frac{1}{2048} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^{12k} \frac{2205}{2048}
\end{equation}となります。
また、無理数の部分は
\begin{equation}
\left( \frac{1}{2} \right)^{12k} \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{1}{2} -\frac{1}{32} -\frac{1}{128} +\frac{1}{2048} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^{12k} \frac{945 \sqrt{3}}{4096}
\end{equation}となります。
したがって、無限級数の和は、
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^n \cos \frac{n \pi}{6}
&=& \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^{12k} \left( \frac{2205}{2048} + \frac{945 \sqrt{3}}{4096} \right) \\
&=& \left( \frac{2205}{2048} + \frac{945 \sqrt{3}}{4096} \right) \cfrac{1}{1-\left( \cfrac{1}{2} \right)^{12}} \\
&=& \frac{4410 +945 \sqrt{3}}{4095} \\
&=& \frac{14 +3\sqrt{3}}{13}
\end{eqnarray}となります。
