本稿では、放物線のフーリエ級数を見ていきます。
便宜上、放物線の頂点あたりの形状を繰り返す波とします。
例を数式で書くと、次のようになります。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& x^2 \quad (-\pi \leqq x \leqq \pi) \\
f(x +2\pi) &=& f(x)
\end{eqnarray}*1
フーリエ級数に展開すると、次のようになります。
\begin{equation}
f(x) = \frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \, \frac{4}{n^2} \, \cos nx
\end{equation}
関数は偶関数なので、偶関数である余弦関数で展開することになります。
\begin{eqnarray}
a_0 &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x^2 \, dx
= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 \, dx
= \frac{2}{3\pi} \biggl[ \, x^3 \, \biggr]_0^\pi =\frac{2}{3} \, \pi^2 \\
a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x^2 \cos nx \, dx \\
b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \, dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin nx \, dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin nx \, dx \\
&=& \frac{2}{n \pi} \biggl[ -\cos nx \biggr]_0^\pi
\end{eqnarray}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
b_{2k} &=& 0 \\
b_{2k +1} &=& \frac{2}{(2k +1) \pi} (1+1) = \frac{4}{(2k +1)\pi}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、
\begin{equation}
f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{4 \sin (2k +1)x}{(2k +1) \pi}
\end{equation}となります。
*1:この関数を1本の数式で書くと、
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \left \{ 2\pi \left( \frac{x -\pi}{2\pi} -\left[ \frac{x -\pi}{2\pi} \right] \right) -\pi \right \}^2 \\
f(x) &=& \left \{ 2\pi \left( \frac{x -\pi}{2\pi} -\left \lfloor \frac{x -\pi}{2\pi} \right \rfloor \right) -\pi \right \}^2 \\
\end{eqnarray}です。 ]はガウス記号、
は床関数と呼ばれるもので、中身を超えない最大の整数を表します。
