ルート2が無理数であることの証明

本稿では、 $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明を紹介します。

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $p,q$ を用いて
\begin{equation}
\sqrt{2} = \frac{p}{q}
\end{equation}と表すことができます。

これより、
\begin{equation}
p^2 = 2q^2
\end{equation}となります。
つまり、 $p^2$ は偶数となります。
これにより、 $p$ は偶数となります。*1

さらに
\begin{equation}
p = 2k \quad (k \in \mathbb{Z})
\end{equation}とすると*2、
\begin{eqnarray}
4k^2 &=& 2q^2 \\
\therefore \quad q^2 &=& 2k^2
\end{eqnarray}となります。
つまり、 $q^2$ は偶数となります。
これにより、 $q$ は偶数になります。