2004年前期 京大 文系 第1問

を0以上の整数とする。を未知数とする方程式
\begin{equation}
(*) \quad a^2 +b^2 = 2^n
\end{equation}を考える。

(1) とする。が方程式(*)を満たすならば、はともに偶数であることを証明せよ。(ただし、0は偶数に含める。)

(2) 0以上の整数に対して、方程式(*)を満たす0以上の整数の組をすべて求めよ。

小問(1)の解答例

\begin{equation}
{a_n}^2 +{b_n}^2 = 2^n \tag{1}
\end{equation}を満たす数列を定めます。
なお、の対称性のため、一旦とします。

\begin{equation}
{a_2}^2 +{b_2}^2 = 2^2 = 4 \tag{2}
\end{equation}より、
\begin{equation}
a_2 = 2, \quad b_2 = 0 \tag{3}
\end{equation}を得ます。両者とも偶数です。

\begin{equation}
{a_3}^2 +{b_3}^2 = 2^3 = 8 \tag{4}
\end{equation}より、
\begin{equation}
a_3 = b_3 = 2 \tag{5}
\end{equation}を得ます。やはり両者とも偶数です。

さて、
\begin{equation}
{a_k}^2 +{b_k}^2 = 2^k \tag{1'}
\end{equation}を満たすならば、は偶数であると仮定します。
式(1')より
\begin{eqnarray}
{a_{k +2}}^2 +{b_{k +2}}^2 &=& 2^{k +2} \\
2^2 ({a_k}^2 +{b_k}^2) &=& 2^{k +2}
\end{eqnarray}が得られます。これより、
\begin{eqnarray}
a_{k +2} &=& 2a_k \\
b_{k +2} &=& 2b_k \tag{6}
\end{eqnarray}とすればも偶数となります。

したがって、式(3), (5), (6)により、に対し、は偶数であることが示されます。
よって、題意は証明されました。

小問(2)の解答例

式(1)は、のとき、次のようになります。
\begin{eqnarray}
{a_0}^2 +{b_0}^2 &=& 1 \tag{7} \\
{a_1}^2 +{b_1}^2 &=& 2 \tag{8}
\end{eqnarray}
式(7), (8)より、
\begin{eqnarray}
a_0 = 1, &\quad & b_0 = 0 \\
a_1 = 1, &\quad & b_1 = 1
\end{eqnarray}を得ます。

小問(1)と合わせると、次のようになります。
が偶数の場合
\begin{equation}
a_n = 2^{n/2}, \quad b_n = 0
\end{equation}
が奇数の場合
\begin{equation}
a_n = b_n = 2^{(n -1)/2}
\end{equation}

ここでの限定を外します。
\begin{eqnarray}
a &=& a_n \\
b &=& b_n
\end{eqnarray}なので、求めるの組は以下の通りとなります。
が偶数の場合
\begin{equation}
(a,b) = \left( 2^{\raise{2ex}\hbox{$\displaystyle \scriptsize{\frac{n}{2}}$}}, \ 0 \right), \ \left( 0, \ 2^{\raise{2ex}\hbox{$\displaystyle \scriptsize{\frac{n}{2}}$}} \right)
\end{equation}
が奇数の場合
\begin{equation}
(a,b) = \left( 2^{\raise{2ex}\hbox{$\displaystyle \scriptsize{\frac{n -1}{2}}$}}, \ 2^{\raise{2ex}\hbox{$\displaystyle \scriptsize{\frac{n -1}{2}}$}} \right)
\end{equation}

解説

ともに0以上の整数という条件があるため、式(2), (4)を満たす組合せは簡単に求めることができます。一時的に大小を固定すると、すっきりと値を求めることができます。