京大 2010年理系第5問その2 - 数式で独楽する

次の問いに答えよ。
(1) $n$ を正の整数、 $a = 2^n$ とする。 $3^a -1$ は $2^{n +2}$ で割り切れるが $2^{n +3}$ で割り切れないことを示せ。
(2) $m$ を正の偶数とする。 $3^m -1$ が $2^m$ で割り切れるならば $m =2$ または $m =4$ であることを示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
- 補題(A)の証明
解説

小問(1)の解答例

京大 2010年理系第5問その1 - 数式で独楽する
続きです。

小問(2)の解答例

偶数 = 奇数 × 2の冪乗

であることを踏まえ、次の補題(A)を証明します。

補題(A)の証明

補題(A)
$n,l$ を正の整数、 $b(n) = (2l -1) \, 2^n$ とする。
$3^b(n) -1$ は $2^{n +2}$ で割り切れるが $2^{n +3}$ で割り切れない

を数学的帰納法で証明します。

(i) n=1の場合
\begin{eqnarray}
3^{2(2l -1)} -1 &=& 9^{2l -1} -1 \\
& \equiv & 1^{2l -1} -1 \mod 2^3 =8 \\
&=& 0 \\
3^{2(2l -1)} -1 &=& 9^{2l -1} -1 \\
&=& 81^{l -1} \cdot 9 -1 \\
& \equiv & 1^{l -1} \cdot 9 -1 \mod 2^4 =16 \quad (\because 81 = 5\times 16 +1) \\
&=& 8
\end{eqnarray}
つまり、
\begin{eqnarray}
3^{2(2l -1)} -1& \equiv & 0 \mod 2^3 \\
3^{2(2l -1)} -1 & \equiv & 8 \mod 2^4
\end{eqnarray}です。
これは、 $3^{2(2l -1)} -1$ が $2^3$ で割り切れるが $2^4$ で割り切れないことを示しており、 $n=1$ の場合に補題(A)が成り立つことを示しています。

(ii) n=kの場合

$3^{b(k)} -1$ は $2^{k +2}$ で割り切れるが $2^{k +3}$ で割り切れない

つまり、正の整数 $q$ を用いて
\begin{equation}
3^{b(k)} -1 = (2q -1) \, 2^{k +2}
\end{equation}と表すことができると仮定します。

このとき、
\begin{eqnarray}
3^{b(k +1)} -1 &=& 3^{2b(k)} -1 \\
&=& \left \{ 3^{b(k)} +1 \right \} \left \{ 3^{b(k)} -1 \right \} \\
&=& \left \{ (2q -1) \, 2^{k +2} +2 \right \} (2q -1) \, 2^{k +2} \\
&=& \left \{ (2q -1) \, 2^{k +1} +1 \right \} (2q -1) \, 2^{k +3}
\end{eqnarray}は、 $2^{k +3}$ で割り切れるが $2^{k +4}$ で割り切れないことが分かります。*1