2002年後期 京大 理系 第3問 (自信なし)その1 - 数式で独楽する
の派生です。
本稿では、3つの頂点A, B, Cの位置関係でどのような三角形ができるのか、分類していきます。
おもむろに、2点A, Bを直径とする円を描きます。
円周角と中心角の関係から、点Cが
- 円の外 → 角Cは鋭角
- 円周上 → 角Cは直角
- 円の中 → 角Cは鈍角
となります。
また、線分ABの両端で垂線を引きます。念のため、点Aを通る方は
、点Bを通る方は
です。
垂線と点Bとの位置関係から、点Cが
- 点Bと同じ側 → 角Aは鈍角
- 直線
上 → 角Aは直角
- 点Bと反対側 → 角Aは鈍角
となります。
垂線と点Aとの位置関係から、点Cが
- 点Aと同じ側 → 角Bは鈍角
- 直線
- 点Aと反対側 → 角Bは鈍角
となります。
以上をまとめると、点Cが上の図の
- 水色の領域 → 鋭角三角形
- 領域の境界 → 直角三角形
- 白色の領域 → 鈍角三角形
となります。
ここまで、2点を与えて3点目をどう置くとどういう三角形ができるのかを見てきました。
逆に、三角形を与えた場合は、最も長い辺を直径とする円を描けば1手で
判定できます。
3点目が
- 円の中 → 鈍角三角形
- 円周上 → 直角三角形
- 円の外 → 鋭角三角形
です。
最も長い辺を基準にすると、両端で立てた垂線の間に3点目は入ります。なので2垂線の間にあるかどうかの判定をする必要がありません。
なお、二等辺三角形は判定できません。
