京大 2012年 理系 第5問(q)

次の命題(p), (q)のそれぞれについて、正しいかどうかを答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。

(p) 京大 2012年 理系 第5問(p) - 数式で独楽する

(q) △ABCと△ABDにおいて、AC < ADかつBC < BDならば∠C > ∠Dである。

解答例

正しくない。

△ABDの外接円をとします。

• ADを半径とする円とし、との交点をP
• BDを半径とする円とし、との交点をQ

とします。

Cが円の弧BP上にあるとき、

AC < AD かつ BC < BD
ですが、円周角の定理により
∠C = ∠D
です。

同様に、Cが円の弧AQ上にあるとき、

AC < AD かつ BC < BD
ですが、円周角の定理により
∠C = ∠D
です。

よって、命題は正しくないことが分かります。

解説

点Cが△ABDの内部にある場合、命題は正しいのはすぐ分かります。
ですが、外部の場合はどうなのかを考える必要があります。