京大 2009年理系第2問その1 - 数式で独楽する

平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB, C, Pを通る円の中心、B'をC, A, Pを通る円の中心、C'をA, B, Pを通る円の中心とする。このとき A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることを示せ。

解答例
- A, B, C, A', B', C'が同一円周上にある場合
- Pが△ABCの内心である場合
解説

解答例

A, B, C, A', B', C'が同一円周上にある場合

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A', B', C'がそれぞれ△BCP, △CAP, △ABPの外心なので、次が成り立ちます。

A', B', C'はBC, CA, ABの垂直二等分線上
B'C', C'A', A'B'はそれぞれBC, CA, ABの垂直二等分線
A'P=A'B=A'C, B'P=B'C=B'A, C'P=C'A=C'B

1項は、
\begin{eqnarray}
\stackrel{\large{\frown}}{\mathrm{A'B}} &=& \stackrel{\large{\frown}}{\mathrm{A'C}} \\
\stackrel{\large{\frown}}{\mathrm{B'C}} &=& \stackrel{\large{\frown}}{\mathrm{B'A}} \\
\stackrel{\large{\frown}}{\mathrm{C'A}} &=& \stackrel{\large{\frown}}{\mathrm{C'Q}}
\end{eqnarray}です。
それぞれの弧のなす円周角の大きさをそれぞれ $a, b, c$ とすると、6つの円弧が全円周をなすことから、
\begin{eqnarray}
2(a +b +c) &=& 180^\circ \\
\therefore \quad a +b +c &=& 90^\circ
\end{eqnarray}となります。

上記1, 2項より、角の大きさは次のようになります。角の記号∠は省略します。

$a$	A'BC, A'B'C, A'B'P, A'CB, A'C'B, A'C'P
$b$	B'CA, B'C'A, B'C'P, B'AC, B'A'C, B'A'P
$c$	C'AB, C'A'B, C'A'P, C'BA, C'B'A, C'B'P

さらに上記3項より、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{A'PC} = \angle\mathrm{A'CP} &=& a +b \\
\angle \mathrm{C'PA} = \angle \mathrm{C'AP} &=& a +b \\
\angle \mathrm{B'PC} = \angle \mathrm{B'CP} &=& b +c \\
\angle \mathrm{C'PB} = \angle \mathrm{C'BP} &=& b +c \\
\angle \mathrm{B'PA} = \angle \mathrm{B'AP} &=& c +a \\
\angle \mathrm{A'PB} = \angle \mathrm{A'BP} &=& c +a
\end{eqnarray}となります。

以上より、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{PAB} = \angle \mathrm{PAC} &=& a \\
\angle \mathrm{PBC} = \angle \mathrm{PBA} &=& b \\
\angle \mathrm{PCA} = \angle \mathrm{PCB} &=& c
\end{eqnarray}となります。
よって、Pは△ABCの内心であることが示されました。