双曲線関数の引数の意味するところは次の通りです。
図のように、双曲線上の2点
と原点O(0, 0)を定めると、
- 直線
- 直線
- 曲線
に囲まれた部分の面積は、
\begin{equation}
\mathrm{OP_0 P} = \frac{1}{2} \ t
\end{equation}となる、というものです。
みていきましょう。
点Pからx軸に垂線を下ろし、足をQとします。点Qの座標は(cosh t, 0)です。
- 曲線
- 直線
- 直線
に囲まれた部分の面積を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{P_0PQ} &=& \int_1^{\cosh t}y \ dx \\
&=& \int_1^{\cosh t} \sqrt{x^2 -1} \ dx
\end{eqnarray}
となります。
ここで、
\begin{equation}
x = \cosh u
\end{equation}と置くと、
\begin{eqnarray}
dx &=& \sinh u \ du \\
\sqrt{x^2 -1} &=& \sinh u
\end{eqnarray}
となります。また、
\begin{equation}
1 \leqq x \leqq \cosh u
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
0 \leqq u \leqq t
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
\mathrm{P_0PQ} = \int_0^t \sinh^2 u \ du
\end{equation}となります。
ここで、
\begin{eqnarray}
\sinh^2 u &=& \left( \frac{e^u - e^{-u}}{2} \right)^2 \\
&=& \frac{e^{2u} -2 +e^{-2u}}{4} \\
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{e^{2u} + e^{-2u}}{2} -1 \right) \\
&=& \frac{1}{2}(\cosh 2u -1)
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{P_0PQ} &=& \frac{1}{2} \int_0^t (\cosh 2u -1)\ du \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sinh 2u -u \right]_0^t \\
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sinh 2t -t \right) \\
&=& \frac{1}{2}(\cosh t \ \sinh t -t)
\end{eqnarray}
となります。
一方、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{OPQ} = \frac{1}{2}\cosh t \ \sinh t
\end{equation}なので、の面積は、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OP_0P} &=& \triangle \mathrm{OPQ} - \mathrm{P_0PQ} \\
&=& \frac{1}{2}\ t
\end{eqnarray}
となります。
