京大 2010年 理系 第5問 その1

次の問いに答えよ。

(1) を正の整数、とする。はで割り切れるがで割り切れないことを示せ。

(2) を正の偶数とする。がで割り切れるならばまたはであることを示せ。

小問(1)の解答例

\begin{equation}
a = a(n) = 2^n
\end{equation}とします。本命題を、数学的帰納法で証明します。
数学的帰納法 - 数式で独楽する

(i) n = 1の場合
\begin{equation}
3^{a(1)} -1 = 3^2 -1 = 8
\end{equation}は、で割り切れるが、では割り切れません。

(ii) n = kの場合

• はで割り切れるがで割り切れない

つまり、正の整数を用いて
\begin{equation}
3^{a(k)} -1 = (2p -1) \, 2^{k +2}
\end{equation}と表すことができると仮定します。

このとき、
\begin{eqnarray}
3^{a(k +1)} -1 &=& 3^{2a(k)} -1 \\
&=& \left( 3^{a(k)} +1 \right) \left( 3^{a(k)} -1 \right) \\
&=& \left \{ (2p -1) \, 2^{k +2} +2 \right \} (2p -1) \, 2^{k +2} \\
&=& \left \{ (2p -1) \, 2^{k +1} +1 \right \} (2p -1) \, 2^{k +3}
\end{eqnarray}は、で割り切れるが、では割り切れません。*1

以上より、

• としたときにはで割り切れるがで割り切れない

ことが示されました。

小問(2)の解答例

続きます。
京大 2010年 理系 第5問 その2 - 数式で独楽する

解説

数学的帰納法を用いる問題です。
数学的帰納法 - 数式で独楽する

• で割り切れるがで割り切れない

を表現できるかどうかが一捻りのポイントです。

*1:奇数×奇数×です。