平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB, C, Pを通る円の中心、B'をC, A, Pを通る円の中心、C'をA, B, Pを通る円の中心とする。このとき A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることを示せ。
解答例
A, B, C, A', B', C'が同一円周上にある場合
Pが△ABCの内心である場合
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BAP} &=& \angle\mathrm{CAP} &=& a \\
\angle \mathrm{CBP} &=& \angle \mathrm{ABP} &=& b \\
\angle \mathrm{ACP} &=& \angle \mathrm{BCP} &=& c
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
2(a +b +c) = 180^\circ
\end{equation}です。
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BA'C} &=& 360^\circ -2\angle \mathrm{BPC} \\
\angle \mathrm{BPC} &=& 180^\circ -2(b +c)
\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BA'C} &=& 360^\circ -2\left \{ 180^\circ -(b +c) \right \} \\
&=& 2(b +c) \\
\angle \mathrm{BAC} +\angle \mathrm{BA'C} &=& 2(a +b +c) \\
&=& 180^\circ
\end{eqnarray}となります。
つまり、四角形ABA'Cは円に内接します。
同様に、四角形BCB'AおよびCAC'Bも円に内接します。この円は、△ABCの外接円です。
よって、6点A, B, C, A,' B', C'は同一円周上に存在することが示されました。
以上より、A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることが示されました。
解説
こちらの方法は、A'が△PBCの外接円であることを利用して、四角形ABA'Cが円に内接することを示しています。
