関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f}(q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
平行移動のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = f(x -x_0) \quad (x_0: \mbox{定数})
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = e^{-iqx_0} \hat{f}(q)
\end{equation}
定義にしたがって式を変形させていくと、示すことができます。
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} f(x -x_0)
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{equation}
x' = x -x_0
\end{equation}と置くと、
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx' \, e^{-iq(x' +x_0)} \, f(x') \\
&=& e^{-iqx_0} \int_{-\infty}^\infty dx' \, e^{-iqx'} \, f(x') \\
&=& e^{-iqx_0} \hat{f}(q)
\end{eqnarray}を得ます。
