関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f}(q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
畳み込みのフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = (f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(u) \, g(x -u) \, du
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \hat{f}(q) \cdot \hat{g}(q)
\end{equation}
定義に従って式を変形させていくと、示すことができます。
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \,e^{-iqx} \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \,g(x -u)
\end{eqnarray}
ここで、積分の順序を入れ替えます。多くの場合、入れ替えが可能です。その際、を掛けて割る操作を加えます。
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \int_{-\infty}^\infty du \, e^{-iqu} \, f(u) \int_{-\infty}^\infty
dx \, e^{-iq(x -u)} \, g(x -u)
\end{equation}
再びフーリエ変換の定義を当てはめると、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \hat{f} \! (q) \cdot \hat{g}(q)
\end{equation}を得ます。
フーリエ変換の演算子をと書くと、
\begin{equation}
\mathcal{F}(f*g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g)
\end{equation}となります。
