京大 2009年理系第6問その2 - 数式で独楽する

$a,b$ を互いに素、すなわち1以外の公約数をもたない正の整数とし、さらに $a$ は奇数とする。
正の整数 $n$ に対して整数 $a_n, b_n$ を
\begin{equation}
\left( a +b \sqrt{2} \right)^n = a_n +b_n \sqrt{2}
\end{equation}を満たすように定めるとき、次の(1), (2)を示せ。ただし $\sqrt{2}$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。
(1) $a_2$ は奇数であり、 $a_2$ と $b_2$ は互いに素である。
(2) すべての $n$ に対して、 $a_n$ は奇数であり、 $a_n$ と $b_n$ は互いに素である。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

続きです。
京大 2009年理系第6問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

$n=1$ の場合、小問(1)で

$a_1$ は奇数
$a_1, b_1$ は互いに素

であることを示しています。

$n =k$ の場合、

$a_k$ は奇数
$a_k, b_k$ は互いに素

であると仮定します。

\begin{eqnarray}
\left( a +b \sqrt{2} \right)^{k +1} &=& a_{k +1} +b_{k +1} \sqrt{2} \\
\left( a +b \sqrt{2} \right)^{k +1} &=& \left( a +b \sqrt{2} \right) \left( a_k +b_k \sqrt{2} \right) \\
&=& aa_k +2bb_k +(ba_k +ab_k) \sqrt{2}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
a_{k +1} &=& aa_k +2bb_k \tag{3} \\
b_{k +1} &=& ba_k +ab_k \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。

式(3)より、 $a, a_k$ は奇数なので、 $a_{k +1}$ も奇数となります。

一方、 $a_{k +1}, b_{k +1}$ が互いに素ではないと仮定します。
つまり、共通の素因数 $p$ を持ち、
\begin{eqnarray}
a_{k +1} &=& p \alpha \\
b_{k +1} &=& p \beta
\end{eqnarray}と表すことができると仮定します。
式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
a_k &=& \frac{aa_{k +1} -2bb_{k +1}}{a^2 -2b^2} &=& \frac{p(a \alpha -2b \beta)}{a^2 -2b^2} \tag{5} \\
b_k &=& \frac{ba_{k +1} -ab_{k +1}}{2b^2 -a^2} &=& \frac{p(b \alpha -a \beta)}{2b^2 -a^2} \tag{6}
\end{eqnarray}を得ます。

式(5), (6)は、 $a_k, b_k$ が共通の素因数 $p$ を持つことを示しています。
つまり、「 $a_k. b_k$ は互いに素」という仮定に反することになります。
したがって、「 $a_{k +1}, b_{k +1}$ が互いに素ではない」という仮定が誤りとなります。
よって、「 $a_{k +1}, b_{k +1}$ は互いに素」であることが示されます。