京大 2008年 理系 第1問 別解

直線が関数のグラフと共有点をもたないためにが満たすべき必要十分条件を求めよ。

解答例

京大 2008年 理系 第1問 - 数式で独楽する
の別解です。

上の点における接線の式は
\begin{equation}
y = \frac{1}{t} \, (x -t) +\log t
\end{equation}つまり
\begin{equation}
y = \frac{x}{t} +\log t -1
\end{equation}です。

\begin{equation}
f(x) = \log x -px -q
\end{equation}とします。
\begin{equation}
f'(x) = \frac{1}{x} -p
\end{equation}です。

\begin{equation}
p = \frac{1}{t}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
q > \log t -1 = -\log p -1
\end{equation}とすれば、2つのグラフは共有点をもちません。
なお、です。

の場合、2つのグラフは必ず共有点をもちます。

逆にかつの場合
傾きの直線がと接するときの接点は
\begin{equation}
\left( \frac{1}{p}, -\log p \right)
\end{equation}接線は
\begin{eqnarray}
y &=& p \left( x -\frac{1}{p} \right) -\log p \\
&=& px -\log p -1
\end{eqnarray}です。

このとき、
\begin{equation}
y = px +q > px -\log p -1
\end{equation}なので、はと共有点をもちません。

以上より、が共有点をもたないための必要十分条件
\begin{equation}
p > 0 \quad \mbox{かつ} \quad q > -\log p -1
\end{equation}を得ます。

解説

対数のグラフに直線をあてがうとこうなります。
の接線と比較することになります。