定数のn乗根の極限 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1
\end{equation}

$n$ 乗根の $n$ を増やしていくと、1に収束する、というものです。

電卓に数字を入れて[√]ボタンを繰り返し押していくと、いずれ1になることは、多くの人が経験しているのではないでしょうか。

では、見ていきましょう。

a=1の場合

明らかです。

a>1の場合

数列 $\{ p_n \}$ を
\begin{equation}
\sqrt[n]{a} = 1 +p_n \tag{1}
\end{equation}で定めます。なお、 $p_n > 0$ です。

式(1)を変形して、
\begin{equation}
a = (1 +p_n) > 1 +np_n
\end{equation}を得ます。
二項定理を用いて冪乗を展開し、必要な項を残しています。
二項定理 - 数式で独楽する

これより、
\begin{equation}
0 < p_n < \frac{a -1}{n}
\end{equation}となります。
$n \to \infty$ とすると、右辺は0に収束します。
はさみうちの原理により、
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} p_n = 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1
\end{equation}を得ます。

a<1の場合

\begin{equation}
\frac{1}{a} > 1
\end{equation}なので、先ほどの結果を用いて
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1
\end{equation}を得ます。
つまり、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1
\end{equation}です。

まとめ

以上より、 $a >0$ の値によらず
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1
\end{equation} を示すことができました。

おまけ

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} a^{\raise{1ex}\hbox{$\displaystyle \scriptsize \frac{1}{n}$}} = a^0 = 1
\end{equation}というやり方もあります。