nのn乗根の極限 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
\end{equation}

自然数 $n$ の $n$ 乗根の $n$ を増やしていくと、1に収束する、というものです。

では、見ていきましょう。

数列 $\{ q_n \}$ を
\begin{equation}
\sqrt[n]{n} = 1 +q_n \tag{1}
\end{equation}で定めます。なお、 $q_n > 0$ です。

式(1)を変形して、
\begin{equation}
n = (1 +q_n)^n > \frac{1}{2} \, n(n -1) {q_n}^2
\end{equation}を得ます。
二項定理を用いて冪乗を展開し、必要な項を残しています。
二項定理 - 数式で独楽する

これより、
\begin{equation}
0 < q_n< \sqrt{\frac{2}{n -1}}
\end{equation}となります。
$n \to \infty$ とすると、右辺は0に収束します。
はさみうちの原理により、
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} q_n = 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
\end{equation}を得ます。