同一直線上にない3点A, B, Cで定まる平面上の点Pの位置ベクトルを
とすると、
\begin{eqnarray}
\vec{p} &=& s \, \vec{a} +t \, \vec{b} +u\, \vec{c} \\
&& s +t +u =1
\end{eqnarray}
は一次独立なので、平面ABC上の任意のベクトルは実数
を用いて
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = t\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{equation}と表すことができます。
位置ベクトルで記述すると、
\begin{equation}
\vec{p} -\vec{a} = t \, \left( \vec{b} -\vec{a} \right) +u \left( \vec{c} -\vec{a} \right)
\end{equation}整理して
\begin{equation}
\vec{p} = (1 -t -u) \, \vec{a} +t \, \vec{b} +u \, \vec{c}
\end{equation}となります。
ここで
\begin{equation}
s +t +u =1
\end{equation}なるを定めると、
\begin{equation}
\vec{p} = s \, \vec{a} +t \, \vec{b} +u \, \vec{c}
\end{equation}を得ます。
係数の和が1になる美しい形です。
