3次式の立方完成

3次式の2次の項を消すことを、立方完成(立体完成)といいます。

次のように行います。
\begin{eqnarray}
&& ax^3 +bx^2 +cx +d \\
&& = a \left( x +\frac{b}{3a} \right)^3 -\frac{b^2}{3a} \, x +cx -\frac{b^3}{27a^2} +d \\
&& = a \left( x +\frac{b}{3a} \right)^3 +\left( c -\frac{b^2}{3a} \right) \left( x -\frac{b}{3a} \right) -\frac{bc}{3a} +\frac{b^3}{9a^2} -\frac{b^3}{27a^2} +d \\
&& = a \left( x +\frac{b}{3a} \right)^3 +\left( c -\frac{b^2}{3a} \right) \left( x -\frac{b}{3a} \right) +\frac{2b^3}{27a^2} -\frac{bc}{3a} +d \\
&& = a \left \{ \left( x +\frac{b}{3a} \right)^3 +\left( \frac{c}{a} -\frac{b^2}{3a^2} \right) \left( x -\frac{b}{3a} \right) +\frac{2b^3}{27a^3} -\frac{bc}{3a^2} +\frac{d}{a} \right \} \\
\end{eqnarray}

1. 2次の項が消えるように3次の項を定めます。
2. 足し過ぎた部分は後から引いてやります。
3. 1次の項の係数を合わせます。
4. 足し過ぎた部分は後から引きます。

つまり
\begin{eqnarray}
X &=& x +\frac{b}{3a} \\
p &=& \frac{c}{a} -\frac{b^2}{3a^2} \\
q &=& \frac{2b^3}{27a^3} -\frac{bc}{3a^2} +\frac{d}{a}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
ax^3 +bx^3 +cx +d = a(X^3 +pX +q)
\end{equation}とできるのです。

やっていることは、下の記事とほぼ同じです。
3次方程式の一般形 - 数式で独楽する