整式
が恒等式
\begin{equation}
f(x) +\int_{-1}^1 (x -y)^2 f(y) \, dy = 2x^2 +x +\frac{5}{3}
\end{equation}を満たすとき、
解答例
与式をで微分します。
\begin{eqnarray}
f'(x) +2\int_{-1}^1 (x -y)f(y) \, dy &=& 4x +1 \\
f''(x) +2\int_{-1}^1 f(y) \, dy &=& 4
\end{eqnarray}
左辺の第2項は定数のため、
\begin{equation}
f(x) = ax^2 +bx +c \tag{1}
\end{equation}とすることができます。は定数です。
このとき、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-1}^1 (x -y)^2 f(y) \, dy \\
&&= \int_{-1}^1 (x^2 -2xy +y^2)(ay^2 +by +c) \, dy \\
&&= 2\int_0^1 (ax^2 y^2 +2cx^2 -2bxy^2 +ay^4 +cy^2) \, dy \\
&&= 2\int_0^1 \left \{ ay^4 +(ax^2 -2bx +c)y^2 +cx^2 \right \} \, dy \\
&&= 2 \left[ \frac{a}{5} \, y^5 +\frac{ax^2 -2bx +c}{3} \, y^3 +cx^2 y \right]_0^1 \\
&&= \frac{2}{5} \, a +\frac{2}{3} \, (ax^2 -2bx +c) +2cx^2 \\
&&= \left( \frac{2}{3} \, a +2c \right) x^2 -\frac{4}{3} \, bx +\left( \frac{2}{5} \, a +\frac{2}{3} \, c \right)
\end{eqnarray}
偶関数、奇関数とその定積分 - 数式で独楽する
なので、恒等式の左辺は
\begin{eqnarray}
&& f(x) +\int_{-1}^1 (x -y)^2 f(y) \, dy \\
&&= (ax^2 +bx +c) +\left \{ \left( \frac{2}{3} \, a +2c \right) x^2 -\frac{4}{3} \, bx +\left( \frac{2}{5} \, a +\frac{2}{3} \, c \right) \right \} \\
&&= \left( \frac{5}{3} \, a +2c \right) x^2 -\frac{1}{3} \, bx +\left( \frac{2}{5} \, a +\frac{5}{3} \, c \right)
\end{eqnarray}となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\frac{5}{3} \, a +2c &=& 2 \tag{2} \\
-\frac{1}{3} \, b &=& 1 \tag{3} \\
\frac{2}{5} \, a +\frac{2}{3} \, c &=& \frac{5}{3} \tag{4}
\end{eqnarray}が全て成り立ちます。
式(3)より
\begin{equation}
b = -3 \tag{5}
\end{equation}です。
式(2), (4)の分母を払います。
\begin{eqnarray}
5a +6c &=& 6 \tag{6} \\
6a +25c &=& 25 \tag{7}
\end{eqnarray}式(7)×5 - 式(6)×6とすると
\begin{equation}
89c = 89
\end{equation}となり、
\begin{equation}
c = 1 \tag{8}
\end{equation}を得ます。
式(6)に代入すると、
\begin{equation}
a = 0 \tag{9}
\end{equation}となります。
以上、式(1), (5), (8), (9)より、
\begin{equation}
f(x) = -3x +1
\end{equation}を得ます。
