京大 2006年前期理系第4問 - 数式で独楽する

2以上の自然数 $n$ に対し、 $n$ と $n^2 +2$ がともに素数となるのは $n = 3$ の場合に限ることを示せ。

解答例
解説

解答例

$n, \ n^2 +2$ を3で割った余りは次のようになります。
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & n^2 +2 \\ \hline
0 & 2 \\
1 & 0 \\
2 & 0 \\ \hline
\end{array}
これは、 $n, \ n^2 +2 \ (> n)$ のいずれかが必ず3の倍数になることを示しています。
なお、 $n = 3$ (素数)の場合、 $n^2 +2 = 11$ も素数となります。