複素数平面上の単位円に内接する正五角形で、1がその頂点の1つとなっているものを考える。この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち、もとの正五角形の頂点以外のもので、実部、虚部がともに正であるものを
とする。
(1)
とするとき、
を用いて
(2) 3点
を通る円は、原点を通ることを示せ。
小問(1)の解答例
が表す点をそれぞれO, A, B, C, D, E, Fとします。
は、
\begin{eqnarray}
1+ \alpha +\alpha^2 +\alpha^3 +\alpha^4 &=& 0 \tag{1} \\
\alpha^5 &=& 1 \tag{2} \\
\alpha^4 &=& \overline{\alpha} \tag{3} \\
\alpha^3 &=& \overline{\alpha^2} \tag{4}
\end{eqnarray}を満たしています。
五角形ABCDEは正五角形なので、
∠FAB = ∠FBA = 72°
です。△FABは二等辺三角形です。したがって、点Fは実数
\begin{eqnarray}
z &=& k \left( \alpha -\alpha^2 \right) +\alpha \tag{5} \\
z &=& k \left( 1 -\alpha^4 \right) +1 \tag{6}
\end{eqnarray}と2つの異なる式で表すことができます。
を消去すると、
\begin{eqnarray}
k \left( \alpha -\alpha^2 \right) +\alpha &=& k \left( 1 -\alpha^4 \right) +1 \\
k \left( \alpha^4 -\alpha^2 +\alpha -1 \right) &=& 1 -\alpha \\
k \left \{ \alpha^2 \left( \alpha^2 -1 \right) +(\alpha -1) \right \} &=& \alpha -1 \\
k \left \{ \alpha^2 (\alpha +1) +1 \right \} &=& -1 \\
k \left( \alpha^3 +\alpha^2 +1 \right) &=& -1 \\
k &=& -\frac{1}{\alpha^3 +\alpha^2 +1} \\
&=& \frac{1}{\alpha^4 +\alpha} \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。
したがって、
\begin{eqnarray}
z &=& \frac{\alpha -\alpha^2}{\alpha^4 +\alpha} +\alpha \\
&=& \frac{\alpha -\alpha^2 +1 +\alpha^2}{\alpha^4 +\alpha} \\
&=& \frac{\alpha +1}{\alpha^4 +\alpha} \tag{8}
\end{eqnarray}となります。
小問(2)の解答例
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{A OC} &=& 144^\circ \\
\angle \mathrm{A FC} &=& 36^\circ
\end{eqnarray}なので、四角形OAFCは円に内接します。
つまり、は同一円周上に存在します。
よって題意は証明されました。
円に内接する四角形 - 数式で独楽する
解説
ABCDEが正五角形なので、式(5), (6)の形、つまり外分比が等しいとしています。外分比が等しいとしない場合は、実部と虚部に分けて進めるのでしょう。
の表し方はいろいろあります。
\begin{eqnarray}
z &=& \frac{\alpha^6 +\alpha^5}{\alpha^4 +\alpha} \, \alpha^3 \\
&=& \frac{\alpha^3 +\alpha^2}{\alpha^4 +\alpha} \, \alpha^3 \\
&=& \frac{\overline{\alpha^2} +\alpha^2}{\overline{\alpha} +\alpha} \, \alpha^3 \\
&=& \frac{\alpha^{-2} +\alpha^2}{\alpha^{-1} +\alpha} \, \alpha^3 \tag{9}
\end{eqnarray}分数の部分は分母も分子も実数です。
式(1)の両辺をで割って
\begin{equation}
\frac{1}{\alpha^2} +\frac{1}{\alpha} +1 +\alpha +\alpha^2 = 0 \tag{10}
\end{equation}とします。
\begin{equation}
\alpha +\frac{1}{\alpha} = t \tag{11}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\alpha^2 +\frac{1}{\alpha^2} = t^2 -2 \tag{12}
\end{equation}です。
式(11), (12)を式(10)に代入すると、
\begin{equation}
t^2 +t -1 = 0
\end{equation}となります。これを解いて
\begin{eqnarray}
t &=& \frac{-1 +\sqrt{5}}{2} \quad (\because \ t > 0) \tag{13} \\
t^2 -2 &=& \frac{6 -2\sqrt{5}}{4} -2 \\
&=& -\frac{\sqrt{5} +1}{2} \tag{14}
\end{eqnarray}を得ます。
式(11)～(14)より、
\begin{eqnarray}
\frac{\alpha^{-2} +\alpha^2}{\alpha^{-1} +\alpha} &=& -\frac{\sqrt{5} +1}{\sqrt{5} -1} \\
&=& -\frac{\left( \sqrt{5} +1 \right)^2}{\left( \sqrt{5} -1 \right) \left( \sqrt{5} +1 \right)} \\
&=& -\frac{6 +2\sqrt{5}}{4} \\
&=& -\frac{3 +\sqrt{5}}{2} \tag{15}
\end{eqnarray}となります。
式(9), (15)より、
\begin{equation}
z = -\frac{3 +\sqrt{5}}{2} \, \alpha^3
\end{equation}を得ます。
小問(2)は拍子抜けするほど簡単です。
