京大 2006年前期 理系 第3問

関数のグラフは、座標平面で原点に関して対称である。さらにこのグラフのの部分は軸が軸に平行で点を頂点とし原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

解答例

まず、を求めます。
において
\begin{equation}
f(x) = k \left( x +\frac{1}{2} \right)^2 +\frac{1}{4}
\end{equation}とおきます。
より
\begin{equation}
k = -1
\end{equation}つまり
\begin{equation}
f(x) = -\left( x +\frac{1}{2} \right)^2 +\frac{1}{4} = -x^2 -x
\end{equation}となります。

では
\begin{equation}
f(x) = -f(-x) = x^2 -x
\end{equation}です。

以上より、
\begin{equation}
f(x) = \left \{ \begin{array}{rl}
-x^2 -x & (x \leqq 0) \\
x^2 -x & (x \geqq 0)
\end{array} \right.
\end{equation}を得ます。

次ににおけるの接線の式を求めます。
において
\begin{equation}
f'(x) = -2x -1
\end{equation}なので、
\begin{equation}
f'(-1) = 1
\end{equation}となります。
したがって、接線の式
\begin{equation}
y = x +1
\end{equation}を得ます。

そして、において曲線と接線の交点の座標を求めます。
\begin{equation}
x^2 -x = x+1
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
x^2 -2x -1 &=& 0 \\
\therefore \quad x &=& 1 +\sqrt{2} \quad (\because \ x > 0)
\end{eqnarray}となります。

よって、に囲まれる図形の面積は、
\begin{eqnarray}
S &=& \int_{-1}^0 \left \{ x +1 -(-x^2 -x) \right \} , dx +\int_0^{1 +\sqrt{2}} \left \{ x +1 -(x^2 -x) \right \} , dx \\
&=& \int_{-1}^0 (x^2 +x +1) \, dx +\int_0^{1 +\sqrt{2}} (-x^2 +2x +1) \, dx \\
&=& \int_{-1}^0 (x +1)^2 \, dx +\int_0^{1 +\sqrt{2}} \left \{ -(x -1)^2 +2 \right \} \, dx \\
&=& \left[ \frac{1}{3} \, (x +1)^3 \right]_{-1}^0 +\left[ -\frac{1}{3} \, (x -1)^3 +2x \right]_0^{1 +\sqrt{2}} \\
&=& \frac{1}{3} -\frac{2}{3} \sqrt{2} +2(1 +\sqrt{2}) -\frac{1}{3} \\
&=& 2 +\frac{4}{3} \sqrt{2}
\end{eqnarray}となります。

解説

のが負の部分は容易に求めることができます。
正の部分も、が奇関数であることを利用して求めます。
接線と交点を求めれば、積分で面積を求めることになります。
本文では、積分の計算に少しだけ工夫して計算量を減らしています。