京大 2012年理系第2問 - 数式で独楽する

正四面体OABCにおいて、点P, Q, Rをそれぞれ辺OA, OB, OC上にとる。ただしP, Q, Rは正四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3辺PQ, QR, RPはそれぞれ3辺AB, BC, CAに平行であることを示せ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。
また、
\begin{equation}
|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1
\end{equation}としても一般性を失いません。

正四面体であることから、
\begin{equation}
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\end{equation}です。同様に、
\begin{eqnarray}
\vec{b} \cdot \vec{c} &=& \frac{1}{2} \\
\vec{c} \cdot \vec{a} &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}です。

ここで、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& p \vec{a} \quad (0 < p < 1) \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& q \vec{b} \quad (0 < q < 1) \\
\overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& r \vec{c} \quad (0 < r < 1)
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} &=& -p \vec{a} +q \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{Q R}} &=& -q \vec{b} +r \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{RP}} &=& p \vec{a} -r \vec{c} \\
\left| \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right|^2 &=& p^2 -pq +q^2 \\
\left| \overrightarrow{\mathrm{Q R}} \right|^2 &=& q^2 -rq +r^2 \\
\left| \overrightarrow{\mathrm{RP}} \right|^2 &=& r^2 -rp +p^2
\end{eqnarray}となります。

PQ=QRより、
\begin{eqnarray}
p^2 -pq +q^2 &=& q^2 -q r +r^2 \\
(p +r)(p -r) &=& q(p -r) \\
(p +q -r)(r -p) &=& 0 \tag{1}
\end{eqnarray}を得ます。
同様にQR=RPより
\begin{equation}
(p +q -r)(p -q) = 0 \tag{2}
\end{equation}を得ます。

式(1)より、
\begin{eqnarray}
p +q -r &=& 0 \tag{3} \\
r -p &=& 0
\end{eqnarray}のいずれかが成り立ちます。

式(3)を仮定すると
\begin{equation}
q = p +r
\end{equation}となります。これを式(2)に代入すると
\begin{equation}
p r = 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
p =0 \ または\ r =0
\end{equation}となります。
点P, Rは正四面体の頂点とは異なるので、式(3)の仮定は不適です。
よって
\begin{equation}
p = r
\end{equation}を得ます。

式(2)に代入すると、
\begin{equation}
q(p -q) = 0
\end{equation}となりますが、 $q \ne 0$ なので
\begin{equation}
p = q
\end{equation}を得ます。
つまり、
\begin{equation}
p = q = r
\end{equation}です。

これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} &=& p (\vec{b} -\vec{a}) &=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \\
\overrightarrow{\mathrm{Q R}} &=& p (\vec{c} -\vec{b}) &=& \overrightarrow{\mathrm{BC}} \\
\overrightarrow{\mathrm{RP}} &=& p (\vec{a} -\vec{c}) &=& \overrightarrow{\mathrm{CA}}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、PQ. QR. RPはそれぞれAB. BC. CAに平行であることを示すことができました。