△ABCを点Xが分割しています。△XBC, △XCA, △XABの面積をそれぞれ
とすると、点Xは、次のように表すことができます。
\begin{equation}
p \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{XB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{XC}} = \vec{0}
\end{equation}
ただし、点Xと頂点Aの間に辺BCがある場合は面積は負とします。
についても同様で、記号の読み替えは次の通りです。
頂点 辺 面積 A BC B CA C AB
点Xの位置ベクトルは、A, B, Cの位置ベクトル
で、次のように表せます。
\begin{equation}
\vec{x} = \frac{p \, \vec{a} +q \, \vec{b} +r\, \vec{c}}{p +q +r}
\end{equation}
三角形を3分割する点の位置ベクトル - 数式で独楽する
分母を払い、
\begin{eqnarray}
\vec{a} -\vec{x} &=& \overrightarrow{\mathrm{XA}} \\
\vec{b} -\vec{x} &=& \overrightarrow{\mathrm{XB}} \\
\vec{c} -\vec{x} &=& \overrightarrow{\mathrm{XC}}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
p \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{XB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{XC}} = \vec{0}
\end{equation}を得ます。
ベクトルによる三角形の3分割 - 数式で独楽する
の逆です。
美しい形です。
