2004年前期京大理系第5問 - 数式で独楽する

複素数 $\alpha$ に対してその共役複素数を $\bar{\alpha}$ で表す。 $\alpha$ を実数ではない複素数とする。複素平面内の円 $C$ が $1, -1, \alpha$ を通るならば、 $C$ は $\displaystyle -\frac{1}{\bar{\alpha}}$ も通ることを示せ。

解答例
解説

解答例

$1, -1, \alpha$ を通る円 $C$ の中心は純虚数です*1。これを $ip \ (p \in \mathbb{R})$ とします。

円 $C$ の半径を $r$ とすると、
\begin{eqnarray}
1 +p^2 &=& r^2 \tag{1} \\
|\alpha -ip|^2 &=& r^2 \tag{2}
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{eqnarray}
|\alpha -ip|^2 &=& (\alpha -ip)(\bar{\alpha} +ip) \\
&=& |\alpha|^2 +ip \alpha -ip \bar{\alpha} +p^2 \tag{3}
\end{eqnarray}でもあります。
共軛複素数その2 - 数式で独楽する

式(2), (3)より、
\begin{equation}
|\alpha|^2 +ip \alpha -ip \bar{\alpha} +p^2 = r^2 \tag{4}
\end{equation}を得ます。

$\displaystyle -\frac{1}{\bar{\alpha}}$ と円 $C$ の中心との距離は、
\begin{eqnarray}
\left| -\frac{1}{\bar{\alpha}} -ip \right|^2 &=& \left( -\frac{1}{\bar{\alpha}} -ip \right) \left( -\frac{1}{\alpha} +ip \right) \\
&=& \frac{1}{|\alpha|^2} +\frac{ip}{\alpha} -\frac{ip}{\bar{\alpha}} +p^2 \\
&=& \frac{1 +ip \bar{\alpha} -ip \alpha +|\alpha|^2 p^2}{|\alpha|^2}
\end{eqnarray}です。

ここで式(4)を用いると、
\begin{equation}
\left| -\frac{1}{\bar{\alpha}} -ip \right|^2 = \frac{1 +|\alpha|^2 +p^2 -r^2 +|\alpha|^2 p^2}{|\alpha|^2}
\end{equation}となります。

さらに式(1)を用いると、
\begin{equation}
\left| -\frac{1}{\bar{\alpha}} -ip \right|^2 = \frac{|\alpha|^2 (1 +p^2)}{|\alpha|^2} = r^2
\end{equation}を得ます。

よって、円 $C$ が点 $\displaystyle -\frac{1}{\bar{\alpha}}$ も通ることが示されました。(証明終わり)