三角形ABCと点Pに対して、次の2つの条件は同値であることを証明せよ。
(i) 点Pは三角形ABCの内部(周は除く)にある。
(ii) 正の数
があって、
が成り立つ。
解答例
平面ABC上の点Pは、実数を用いて
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = p \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。
条件(i)より条件(ii)を示す
条件(i)が成り立つとき、
\begin{equation}
p > 0, \quad q > 0, \quad 0 < p +q < 1
\end{equation}です。
式(1)を変形します。
\begin{equation}
-\overrightarrow{\mathrm{PA}} = p \, \left( \overrightarrow{\mathrm{PB}} -\overrightarrow{\mathrm{PA}} \right) +q \, \left( \overrightarrow{\mathrm{PC}} -\overrightarrow{\mathrm{PA}} \right)
\end{equation}これより、
\begin{equation}
(1 -p -q) \, \overrightarrow{\mathrm{PA}} +p \, \overrightarrow{\mathrm{PB}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0}
\end{equation}となります。
ここで
\begin{eqnarray}
a &=& 1 -p -q &>& 0 \\
b &=& p &>& 0 \\
c &=& q &>& 0
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
a \, \overrightarrow{\mathrm{PA}} +b \, \overrightarrow{\mathrm{PB}} +c \, \overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0}
\end{equation}つまり、条件(ii)が成り立ちます。
条件(ii)より条件(i)を示す
\begin{equation}
a \, \overrightarrow{\mathrm{PA}} +b \, \overrightarrow{\mathrm{PB}} +c \, \overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0}
\end{equation}が正の数に対して成り立っています。この式を変形します。
\begin{equation}
-a \, \overrightarrow{\mathrm{AP}} +b \, \left( \overrightarrow{\mathrm{AB}} -\overrightarrow{\mathrm{AP}} \right) +c \, \left( \overrightarrow{\mathrm{AC}} -\overrightarrow{\mathrm{AP}} \right) = \vec{0}
\end{equation}これより、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{b \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +c \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a +b +c}
\end{equation}を得ます。
ベクトルの係数について
\begin{eqnarray}
&& \frac{b}{a +b +c} &>& 0 \\
&& \frac{c}{a +b +c} &>& 0 \\
0 &<& \frac{b +c}{a +b +c} &<& 1
\end{eqnarray}なので、点Pは△ABCの内部にあります。
よって、条件(i)が成り立ちます。
まとめ
以上より、条件(i), (ii)は同値であることが示されました。(証明終わり)
解説
2つの条件が同値であるということは、一方の条件より他方の条件を導くことができるということです。
本問では、ベクトルの関係式を素直に変形させていけば、一方の条件より他方の条件を導くことができます。
良問です。
