関数を次のように定義します。
\begin{eqnarray}
\cosh x &=& \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
\sinh x &=& \frac{e^x - e^{-x}}{2}
\end{eqnarray}
これらの関数は、
\begin{eqnarray}
\cosh^2 x &=& \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} \\
\sinh^2 x &=& \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}
\end{eqnarray}
なので、
\begin{equation}
\cosh^2 x - \sinh^2 x =1
\end{equation}を満たします。
このことは、
\begin{equation}
(x,y) = (\cosh t, \sinh t)
\end{equation}で表される点は、
\begin{equation}
x^2 - y^2 = 1
\end{equation}で表される双曲線上にあることを示しています。
関数は双曲線関数と呼ばれますが、その所以がここにあります。
英語では、hyperbolic functionです。
関数はそれぞれハイパボリックコサイン、ハイパボリックサインと読みます。
その他、三角関数との類似から、「ハイパボリック」を付けて読まれます。
