\begin{eqnarray}
(\tanh x)' &=& 1 -\tanh^2 x \\
&=& \frac{1}{\cosh^2 x} \\
\\
(\coth x)' &=& 1 -\coth^2 x \\
&=& -\frac{1}{\sinh^2 x}
\end{eqnarray}
本稿では、双曲線関数の正接と余接の微分を見ていきます。
こちらも、三角関数のそれと似た形をします。
どちらも、正弦と余弦の微分、および商の微分で求めることができます。
正接
\begin{eqnarray}
(\tanh x)' &=& \left( \frac{\sinh x}{\cosh x} \right)' \\
&=& \frac{\cosh^2 x -\sinh^2 x}{\cosh^2 x} \\
&=& \frac{1}{\cosh^2 x} \\
&=& 1 -\tanh^2 x
\end{eqnarray}
式の2行目から3行目、2行目から4行目に、それぞれ変形できます。
余接
\begin{eqnarray}
(\coth x)' &=& \left( \frac{\cosh x}{\sinh x} \right)' \\
&=& \frac{\sinh^2 x -\cosh^2 x}{\sinh^2 x} \\
&=& -\frac{1}{\sinh^2 x} \\
&=& 1 -\coth^2 x
\end{eqnarray}
こちらも同様です。
